微软研究员与合作者将新的数学思想与人类引导的AI相结合，解决高维几何与概率中的一个核心问题

概览

重大基础科学突破：研究人员解决了Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想，这是一个已有31年历史的问题，被广泛认为是高维几何中的核心未解问题之一，对统计学、优化、算法和计算机科学具有重要意义。

一个通用的几何原理：该结果建立了一个针对对数凹分布的通用几何原理，表明无论维度如何，简单的平坦切割都能在固定因子内捕捉到它们最窄的瓶颈。 

人机协作：这一突破源自一个由人类主导的智能体研究过程，在该过程中，AI系统探索数学可能性，而研究人员则评估、筛选并重新引导搜索。

独立确认：多位独立研究人员已验证这项研究，指出其核心标准是关键突破，随后是机器检查的形式化验证。 

几十年来，一个关于高维空间计算难度的基本问题一直未能得到证明。新的研究解决了这个问题，消除了理解科学和计算领域中广泛使用的随机算法效率的一大理论障碍。

Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想于1995年被提出。它问的是：对于一大类高维概率分布，最佳的平坦或超平面切割是否总是几乎与任意形状的最佳切割一样有效。更准确地说，KLS 预测二者之差不超过一个普适常数，无论维数是多少。这将确立一个不依赖于维数的几何原理，并对高维几何、概率论和理论计算机科学产生重要影响。由于这些切割的几何性质决定了随机游走探索一个分布的速度，KLS 在高维采样理论中也起着核心作用。

自1995年以来，数学家们已积累证据表明该猜想成立，但完整证明仍难以企及。现在，包括来自微软研究院机器学习与优化组的 Xinzhi Zhang 在内的两位研究人员，已经证明了 KLS 猜想（在新标签页中打开）。他们证明，无论一个形状有多少维，该关系都在一个固定界下成立。在这项工作之前，于2026年7月确立的已知最佳结果（在新标签页中打开）允许该界随着维数增加而缓慢增长。这项工作确立了一条基本几何原理：高维空间的表现比此前所知更好，并且在其中导航的障碍不会随着维数增加而无界增长。 

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未来事物的形态

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KLS猜想的重要性早在它被解决之前就已在整个领域得到认可。在其2017-18年度报告中，数学科学研究所（MSRI）(opens in new tab)称其为“高维凸几何中的一个核心未决问题”。西蒙斯研究所 (opens in new tab) 将其描述为“凸几何中最重要的未决问题之一”。在2022年国际数学家大会（ICM）(opens in new tab)的会议录中，Ronen Eldan指出了它对高维凸几何和计算几何的广泛意义。《量子杂志》(opens in new tab)写道，KLS“处于统计学和计算机科学中许多问题的核心”。

技术细节

作者们首先改进了2026年7月的结果，以使数学界限更加精确。在与AI智能体合作的过程中，采用结构化、由人类主导的流程，他们探索了100多种候选方法，其中许多涉及高阶张量的冗长计算。这产生了一个新的数学判据，并成为最终证明的基础。

作者随后发现，这个新判据可以递归地应用。每一个改进后的界都可以再反馈到同一个论证中，从而产生一个更紧的界。在论文2026年10月1日的版本中，这将对方维度的依赖降低到了迭代对数。这个函数增长得极其缓慢，但它仍然随维度增长，因此尚未完全解决该猜想。

最后一步是重复整个递归细化过程，而不是只应用一次。这一想法受到作者此前关于线性规划快速算法工作的启发。作者证明，每个阶段引入的小误差收缩得足够快，使其总和始终受一个与维度无关的普适常数约束。这消除了对维数的依赖，并完成了论文2026年10月4日版本中的证明。

递归方法、其重复应用，以及关于累积误差保持有界的证明，都是研究人员的原创贡献。AI工具帮助探索候选方法、进行详细推导、准备手稿并执行内部证明检查。研究人员确定了数学方向，选择了有前景的想法，将它们整合为最终论证，并验证了证明。

独立确认

在作者发布完整证明的同一天，另一个由顶尖专家组成的小组发布了一份他们并行开发的完整证明（opens in new tab）。他们的工作建立在微软论文第一版（opens in new tab）的发现之上，并称其为“证明中的关键一步”。同日另行出现的第三份证明（opens in new tab）依赖于一个密切相关的想法。此外，随后发布了一个Lean 4形式化（opens in new tab），将微软第一篇论文中的关键判据与额外研究结合起来。 

独立证明是数学中最有力的验证形式之一，因为它们表明一个结果并不依赖于单一推理链。随后出现的替代方法和形式化验证进一步增强了人们的信心：该领域发现的是一个真正的底层原理，而不是一个脆弱的技术论证。作者还缩短了他们的证明，并在Lean中验证了精简后的论证；他们计划在最终审查后发布两者。这些进展共同提供了互补形式的确认。

人类引导 AI

在证明KLS的过程中，这项研究还展示了让研究人员引导AI的力量，而不是仅仅要求AI通过前沿模型或智能体的一次端到端运行来解决复杂问题。作者使用了一个带有迭代式、人工辅助“剪枝”的智能体搜索过程：当多个智能体并行探索一个想法的各种变体时，研究人员检查它们的中间结果，剔除没有前景的方向，并将最有希望的结果传递到下一轮。在关键突破出现之前，大约探索了一百条研究轨迹。 

在项目的另一条路线中，作者使用多个领先AI模型反复进行无引导尝试来解决同一问题，使用的总token预算与主过程大致相同。那项努力未能达到目标。最终的成功既取决于AI系统的能力，也取决于研究人员的数学判断。 

总的来说，解决KLS解决了一个高维几何中的核心问题。此前将该猜想作为假设的广泛结果现在可以无条件地陈述。因此，该证明为凸几何、概率论和理论计算机科学研究提供了更坚实的基础。

这项工作还表明，经过精心引导的人类—AI协作如何能够为真正的科学发现作出贡献，同时强化而不是取代人类洞见。它凸显了科学判断在识别有前景方向、认识概念联系以及看出部分洞见何时指向更深层结果方面的持续重要性。作者现在正在简化证明并扩展其形式化验证，以便数学和理论计算机科学界能够更容易地审查该结果并在此基础上继续发展。

致谢 

感谢我们的共同作者 Zhao Song 对这项工作的贡献，并感谢 Victor Reis（opens in new tab）和 Ishai Menache 在整个项目期间进行的有益讨论。